Olasılıkta Bağımsız Olay Ne Demektir?

Bir yazı turada beş kez yazı gelince altıncının tura olacağı hissedilir. His, paranın borcunu ödeyeceği düşüncesine dayanır. Adil bir para, önceki atışı hatırlamaz. Bu yazıda bağımsız olayın ne demek olduğunu, destenin neden paradan farklı davrandığını ve hissenin neden hesabı bozduğunu anlatıyoruz.

Biri ötekini değiştirmiyorsa

İki olay bağımsızdır, eğer birinin gerçekleşmesi ötekinin olasılığını değiştirmiyorsa. Adil bir parada yazı gelme olasılığı yaklaşık yarım kabul edilir. İkinci atışta da aynıdır. İlk atışın sonucu, ikinci atışın parasını eğmez. Bu yüzden iki atışın birden yazı gelmesi, yarım çarpı yarım, yani dörtte bir dolayındadır.

Çarpım, her iki olay için yapılamaz. Ancak bağımsızlık varsa olasılıklar doğrudan çarpılır. Bağımsızlık yoksa çarpım, olmayan bir rahatlık sağlar ve yanlış bir sayı verir.

Deste hatırlar

Bir desteden kupa ası çekmek, belirli bir olasılıktır. Kart geri konmazsa destede bir kart eksilir. İkinci çekiliş, birinciyle aynı olasılığı taşımaz. Bu iki çekiliş bağımsız değildir. Kart geri konup deste karılırsa bağımsızlık yaklaşık olarak geri gelir.

Fark küçüktür diye yok sayılmamalıdır. Küçük bir destede eksilen tek kart, oranı hissedilir biçimde değiştirir. Büyük bir kalabalığın içinden bir kişi seçmek ise desteye daha az benzer. Hangi modelin uygun olduğu, eksilen şeyin bütünü ne kadar değiştirdiğine bağlıdır.

Beş yazı, borcu büyütmez

Adil bir parada üst üste yazı gelmesi seyrektir, fakat yasak değildir. Beş yazıdan sonra altıncı atış, yine yaklaşık yarım yazıdır. Paranın bir hafızası veya adalet duygusu yoktur. Bu yanılgıya, şansın borcunu ödeyeceği inancı denir. Geçmiş, gelecek atışın olasılığını ancak para gerçekten eğildiyse değiştirir. Eğilme varsa sorun bağımsızlığın bozulması değil, paranın adil olmamasıdır.

Doğum günü paradoksu da sezginin olasılıkta nasıl şaşırdığını anlatır. Orada şaşırtan, bir kişinin belirli bir günü değil, gruptaki herhangi iki kişinin çakışmasıdır. Burada şaşırtan ise geçmişin, adil bir atışta geleceği bağlamamasıdır. İki ders, iki ayrı kapıdır.

Gerçek hayatta bağımsızlık nadiren kusursuzdur

İki farklı kişinin aynı anda birer para atması, birbirini görmüyorlarsa bağımsız sayılabilir. Aynı kişinin yorgun elle attığı iki atış, tam bağımsız olmayabilir. Hava, hastalık ve ortak bir neden, iki olayı birbirine bağlayabilir. Model, gerçeğin sadeleştirilmiş hâlidir. Sadeleştirme işe yarar. Her iki haberi otomatik çarpmak ise sadeleştirmeyi gizlice kötüye kullanır.

Pi'nin dairenin oranını sabit tutması gibi, bağımsızlık da belirli bir tanımın adıdır. Tanım tutmuyorsa formül de tutulmaz. Daire olmayan bir şeklin çevresine pi'yi yapıştırmak nasıl eksikse, birbirini etkileyen iki olaya bağımsız çarpımı yapıştırmak da eksiktir.

Küçük bir kontrol

Bir olayın olasılığı, öteki olduktan sonra değişiyor mu? Değişmiyorsa bağımsızlıktan şüphelenmek için bir neden azalır. Değişiyorsa çarpımdan önce koşullu olasılık düşünülür. Kartın geri konmaması, bu değişimin en sade örneğidir. Yağmurun, aynı öğleden sonraki pikniği etkilemesi ise daha gündelik bir örnektir. Piknik ile yağmur bağımsız değildir. Şemsiye bu yüzden boşa bir aksesuar sayılmaz.

Bağımsızlık, olayların birbirinden habersiz olmasıdır. Haber varsa formül de değişir. Paranın haberi yoktur. Destenin, eksilen kart kadar haberi vardır.

Sık sorulan sorular

Üst üste yazı gelince tura borçlanır mı? Adil bir parada hayır. Önceki atış, sonrakinin olasılığını değiştirmez.

İki olayın olasılığı her zaman çarpılır mı? Yalnızca bağımsızsalar. Biri ötekini etkiliyorsa doğrudan çarpım yanlış sonuç verir.

Desteden çekilen kartlar bağımsız mıdır? Kart geri konmuyorsa hayır. Deste küçülür ve ikinci çekilişin olasılığı değişir.