Üslü Sayılar Neden Hızla Büyür?
Üslü büyüme, aynı sayının tekrar tekrar kendisiyle çarpılmasıdır. Her kat, bir öncekinin toplamından büyük bir adım ekleyebilir.
Bir sayıyı her adımda ikiye katlamak, başta masum görünür. 2, 4, 8, 16. Bir süre sonra aynı katlama, sayfaya sığmayan bir büyüklük üretir. Bu yazıda üssün neden tekrarlı çarpım olduğunu, satranç tahtası hikâyesinin neden abartısız olduğunu ve kâğıt katlamanın neden bir düşünce deneyi olarak Ay'a yaklaştığını anlatıyoruz.
Üstteki küçük sayı, alttakini çoğaltır
2'nin üstüne yazılan 10, on tane 2'nin çarpımıdır. Sonuç 1024'tür. Üstteki sayı bir artınca sonuç bir kez daha ikiye katlanır. 2 üzeri 11, 2048 eder. Eklenen, 1 değildir. Eklenen, o ana kadarki sayının kendisi kadardır. Bu yüzden üslü büyüme, toplama gibi düz ilerlemez. Adım, yürüdükçe uzar.
10'un üstündeki sayılar da aynı mantığı izler. 10 üzeri 2, 100'dür. 10 üzeri 3, 1000'dir. Her yeni üs, sonuna bir sıfır daha ekler. Sıfır, hiçliği sayıya çeviren işaretin burada bir de büyüklük ölçüsü olmasıdır. Bir sıfır, on kat demektir.
Son kare, öncekilerin toplamını geçer
Eski bir hikâye, bir satranç tahtasının ilk karesine bir buğday, her sonraki kareye bir öncekinin iki katı konmasını ister. Birinci kare 1, ikinci 2, üçüncü 4 tanedir. Altmış dördüncü kareye gelindiğinde tane sayısı, mutfaktaki bir çuvalın çok ötesindedir.
Hesabın güzel yanı şudur: bir karedeki tane, kendinden önceki bütün karelerin toplamından bir fazladır. Son kare, tek başına, önceki altmış üç karenin toplamından büyüktür. Hikâye bu yüzden bir anda şaşırır. Şaşkınlık, son kareye kadar biriken sakin adımların, son adımda kendilerine eşit bir yük daha eklemesindendir.
Kâğıt katı bir düşünce deneyidir
İnce bir kâğıdı her seferinde ikiye katlamak, elde yedinci kattan sonra zorlaşır. Matematik ise katlamayı sürdürebilir. Milimetrenin onda biri kadar bir kâğıt, kırk kat civarında öyle bir kalınlığa çıkar ki Dünya ile Ay arasındaki uzaklık mertebesine yaklaşır. Bu, mutfakta denenecek bir iş değildir. Kâğıt yırtılır, kat tutmaz. Deney, üssün ne kadar hızlı kaçtığını göstermek içindir.
Pi'nin basamaklarının uzaması başka bir sonsuzluktur. Orada her adım yeni bir rakam ekler, sayı ise dairenin oranına biraz daha yaklaşır. Üslü katlamada ise her adım, önceki bütün büyüklüğü bir kez daha ekler. İkisi de uzar. Uzama biçimleri aynı değildir.
Neden sezgi geride kalır?
İnsan, birkaç adımlık büyümeyi iyi tahmin eder. Onuncu adımdan sonra tahmin, genellikle geride kalır. Çünkü sezgi, son adıma kadar olan yolu toplar ve bir sonraki adımı o yola küçük bir ek gibi görür. Üslü büyümede ek, yolun kendisi kadardır. Küçük ek varsayımı, tam burada bozulur.
Grafikte eksenin sıfırdan başlamaması bu büyümeyi daha da şaşırtabilir. Dar bir pencere, sakin bir üslü eğriyi uçurum gibi veya uçurumu yokuş gibi gösterebilir. Sayı, resimden önce okunursa şaşkınlık yerli yerinde kalır.
Her büyüme üslü değildir
Her yıl aynı miktar eklenen bir birikim, üslü değil doğrusaldır. Üslü olmak için birikimin, birikimin kendisiyle orantılı büyümesi gerekir. Bir söylenti iki kişiye, o iki kişi dörder kişiye anlatırsa üslü bir yayılma başlayabilir. Anlatacak kişi kalmayınca ise büyüme yavaşlar. Gerçek dünyada üslü tempo, sonsuza kadar sürmez. Tavan, yer veya yorgunluk devreye girer.
Bunu bilmek, baştaki hızı küçümsemek için değildir. Tavan gelmeden önce sayının ne kadar büyüyebileceğini görmek içindir. 2, 4, 8 sakin bir başlangıçtır. Onuncu adımda aynı kural 1024'e varır. Kural değişmemiştir. Adım uzamıştır.
Sık sorulan sorular
Üs neyi sayar? Tabanın kendisiyle kaç kez çarpılacağını sayar. 2 üzeri 10, on tane 2'nin çarpımıdır ve 1024 eder.
Son satranç karesi neden bu kadar ağırdır? Her kare bir öncekinin iki katıdır. Son kare, tek başına önceki karelerin toplamından büyüktür.
Kâğıdı gerçekten Ay'a kadar katlayabilir miyim? Hayır. Bu bir düşünce deneyidir. Fiziksel kâğıt birkaç kattan sonra katlanmaz. Matematik ise ikiye katlamayı sürdürebilir.