Asal Sayılar Neden Bu Kadar Özeldir?
Asal sayılar yalnızca bire ve kendilerine bölünür. Sonsuz olduklarını gösteren eski kanıt, çarpımın bir fazlası fikrine dayanır.
2, 3, 5, 7, 11. Bu kısa liste, okulda ezberlenen ilk asal sayılardır. Ortak özellikleri sadedir: birden büyük olmaları ve kendilerinden başka böleni bulunmaması. 1 ve sayının kendisi bölen sayılır; başka bölen yoktur. 4 bu tanıma uymaz, çünkü 2'ye bölünür. 9 uymaz, çünkü 3'e bölünür. 2 uyar ve listenin tek çift üyesidir. Bu yazıda asalların neden yapı taşı sayıldığını, sonsuz olduklarını gösteren eski bir kanıtı ve bu kavramın günlük sayılarda nerede işe yaradığını anlatıyoruz.
Tanım neden bu kadar sade?
Bir tam sayıyı çarpanlarına ayırmak, onu daha küçük parçalara bölmektir. 12, 2 çarpı 2 çarpı 3 olarak yazılabilir. 7 ise böyle parçalanmaz. 7'yi 7 çarpı 1 diye yazmak bir ayrıştırma sayılmaz; 1 her sayının çarpanıdır. Asal, çarpanlara ayrılamayan ve birden büyük pozitif tam sayıdır.
1 bu tanımın dışında bırakılır. 1'i asal saymak, çarpanlara ayırmayı tek türlü olmaktan çıkarırdı. Her sayı, sonuna istenildiği kadar 1 eklenerek farklı biçimlerde yazılabilirdi. 1'i dışarıda bırakınca, her tam sayının asal çarpanlara ayrılışı, sıra gözetilmezse, tek türlü olur. Bu, aritmetiğin temel sonuçlarından biridir.
2 neden tek çift asaldır?
Çift sayı, 2'ye bölünendir. 2'den büyük her çift sayı, 2'ye bölündüğü için asal olamaz. 4, 6, 8 ve 100 bu kurala uyar. Geriye yalnızca 2 kalır. 2 hem çifttir hem de kendisinden küçük ve 1'den büyük bir böleni yoktur. Bu yüzden asal listenin ilk ve tek çift üyesidir.
Tek asallar ise bu kadar düzenli bir elemeden geçmez. 9 tek olduğu hâlde asal değildir. 15 de değildir. 21 de değildir. Tek olmak, asal olmak için yetmez. Tek sayıların içinden 3'e, 5'e, 7'ye ve daha büyük asallara bölünenleri ayıklamak gerekir.
Sonsuz olduklarını nasıl biliriz?
Asal listesi bir yerde biter mi? Eski bir kanıt, bitmediğini gösterir. Öklid'e dayanan bu akıl yürütme şöyledir. Sonlu bir asal listesi olduğunu varsayın. Bu sayıların hepsini çarpın ve sonuca 1 ekleyin. Elde edilen sayı, listedeki hiçbir asala tam bölünmez; bölümden kalan 1'dir.
Bu yeni sayı ya kendisi asaldır ya da listedekinden başka bir asal çarpana sahiptir. İki durumda da listede olmayan bir asal ortaya çıkar. Liste tamamdır iddiası çöker. Demek ki asallar tükenmez. Kanıt, bir sonraki asalı her zaman hesaplamaz. Yalnızca sonlu bir listenin eksik kalmak zorunda olduğunu gösterir.
Bu tür bir şaşırtma, sezginin sayıyla imtihanıdır. Başka bir örneği doğum günü paradoksu yazısında görülebilir. Sayının kendisinin uzun yolculuğu ise sıfırın hikâyesi ile başlar. Asallar, o yolculuğun bölünemeyen duraklarıdır.
Neden yapı taşı denir?
Her birden büyük tam sayı, asal çarpanların çarpımı olarak yazılabilir. 30, 2 çarpı 3 çarpı 5'tir. 100, 2 çarpı 2 çarpı 5 çarpı 5'tir. 17 yalnızca 17'dir. Bu yüzden asallar, tam sayıların çarpma işlemine göre yapı taşlarıdır. Toplama işleminde benzer rolü 1 oynar; çarpmada ise asallar öne çıkar.
Bu ayrım, sadeleştirmede işe yarar. İki sayının ortak bölenini ararken asal çarpanlar listeyi kısaltır. 12 ve 18'in çarpanlarına bakınca ortak olan 2 ve 3 görünür. Ortak bölenlerin en büyüğü 6'dır. Küçük sayılarda bu iş zihinden yapılır. Büyük sayılarda aynı fikir geçerlidir; emek ise hızla artar.
Büyük sayılarda iş neden zorlaşır?
Küçük bir sayının asal olup olmadığını denemek kolaydır. Sayının kareköküne kadar olan asallara bölünüp bölünmediğine bakmak yeter. 97 için bu liste kısadır. Yüzlerce basamaklı bir sayıda aynı yöntem, ömür yetmeyecek kadar adım isteyebilir. Asal çarpanlara ayırmanın büyük sayılarda zor olması, bazı şifreleme düzenlerinin dayanağı olarak anılır. Ayrıntı bu yazının konusu değildir. Bilinmesi gereken şudur: asal mıdır sorusu küçükte sade, büyükte zahmetlidir. Zorluk, tanımın değişmesinden değil, denenecek adayların çoğalmasından gelir.
Sonsuzluk kanıtı ile pratik arama arasındaki fark da burada belirir. Asalların bitmediğini biliriz. İstediğimiz büyüklükte bir asalı kısa sürede yazmak ise başka bir iştir. Bilinen ile kolay hesaplanan aynı şey değildir.
Sık sorulan sorular
1 asal mıdır? Hayır. Asal sayılar birden büyüktür ve kendilerinden başka bölenleri yoktur. 1'i asal saymak, çarpanlara ayırmayı tek türlü olmaktan çıkarır.
Çift asal sayı var mıdır? Yalnızca 2. Ondan büyük her çift sayı 2'ye bölünür, bu yüzden asal olamaz.
Asallar bir yerde biter mi? Hayır. Sonlu bir liste alınır, elemanları çarpılıp 1 eklenirse, listede olmayan bir asal daha bulunduğu gösterilir. Bu, listenin hiç tamamlanamayacağı anlamına gelir.