Doğum Günü Paradoksu: Sezgimiz Olasılıkta Neden Yanılır?

Bir odada kaç kişi olursa, içlerinden ikisinin doğum günü aynı güne denk gelir? Çoğu kişi yüzlerce kişi gerektiğini düşünür; sonuçta bir yılda 365 gün var. Oysa 23 kişilik bir grupta bu ihtimal yarıdan fazladır. Buna “paradoks” denir ama gerçekte bir çelişki yoktur; yalnızca sezgimizin olasılıkla pek iyi anlaşmadığını gösterir. Bu yazıda sonucu adım adım hesaplayacak ve sezgimizin nerede yanıldığını göreceğiz. Hesaplarda yılın 365 gün olduğunu ve her günün eşit olasılıkla doğum günü olduğunu varsayıyoruz; 29 Şubat'ı ve gerçek hayattaki küçük dalgalanmaları göz ardı ediyoruz.

Tersinden düşünmek

Hesabı kolaylaştıran numara, “en az iki kişi aynı gün doğmuş” ihtimalini doğrudan değil, tersinden hesaplamaktır. Önce “hiç kimsenin doğum günü aynı değil” ihtimalini buluruz, sonra bunu 1'den çıkarırız.

İlk kişi için bir sınırlama yok: 365 günün hepsi uygundur. İkinci kişinin ilkiyle aynı gün doğmamış olma ihtimali 364/365'tir. Üçüncü kişi için 363/365, dördüncü için 362/365 ve böyle devam eder. Bu olasılıklar çarpılır.

23 kişilik hesap

23 kişi için çarpım şöyledir: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365. Bu çarpım yaklaşık 0,4927 eder. Yani 23 kişinin hiçbirinin doğum günü ortak değilse bu ihtimal yaklaşık yüzde 49,3'tür. Bunun tersi, yani en az iki kişinin aynı gün doğmuş olma ihtimali, 1 − 0,4927 = 0,5073, yani yaklaşık yüzde 50,7'dir.

Başka kişi sayıları için sonuçlar şöyledir:

• 10 kişi: yaklaşık yüzde 11,7
• 23 kişi: yaklaşık yüzde 50,7
• 30 kişi: yaklaşık yüzde 70,6
• 50 kişi: yaklaşık yüzde 97

Sezgi neden yanılıyor?

Sezgimiz “benim doğum günümle eşleşen biri var mı?” sorusunu düşünür; bu soru için 23 kişi gerçekten azdır. Ancak paradoks, herhangi iki kişinin eşleşmesini sorar. 23 kişilik bir grupta kaç farklı çift olduğunu hesaplayalım: 23 × 22 / 2 = 253 çift. Her çiftin eşleşme şansı küçük olsa da 253 deneme olduğunda bir araya gelen olasılık hızla büyür. Sezgimiz kişi sayısına bakar; matematik çift sayısına.

Günlük hayatta benzer yanılgılar

Bu mantık, “ne kadar rastlantı” olduğunu anlamamıza da yardım eder. Bir sınıfta ya da bir ofiste doğum günü eşleşmesi olması şaşırtıcı gelse de olasılık hesabı bunun çoğu zaman beklenen bir durum olduğunu gösterir. Aynı biçimde “bu kadar tesadüf olamaz” dediğimiz birçok durumda, aslında bakılan olay sayısı çok fazladır. Sezgilerimiz küçük sayılar ve büyük sayılar arasında iyi ayrım yapmaz; tıpkı sıfır gibi sayı fikirlerinin tarihte uzun süre sezgiye aykırı görünmesi gibi. Bunu sıfırın hikâyesinde görmüştük.

Gerçek hayatla farkı

Gerçekte doğumlar yıl boyunca eşit dağılmaz; bazı aylarda daha fazla doğum olur. Eşit dağılmayan durumlarda eşleşme ihtimali, eşit dağılım varsayımına göre biraz daha yüksek çıkar. Yani yaptığımız basit hesap, gerçek olasılığın biraz altında kalır. Yine de ana fikir değişmez: eşleşme için gereken kişi sayısı sezgimizden çok daha azdır.

Neden önemli?

Bu fikir yalnızca bir bulmaca değildir. Bilgisayar biliminde “çarpışma” denen durumların, yani iki farklı verinin aynı etiketi alması ihtimalinin hesabında da kullanılır. Etiketler yeterince uzun değilse, beklenenden çok daha önce çarpışma görülebilir. Bu yüzden güvenlik ve veri sistemleri tasarlanırken doğum günü paradoksu dikkate alınır.

Sık sorulan sorular

366 kişi olursa kesin eşleşme olur mu? 366 kişide, 29 Şubat'ı hesaba katarsak, eşleşmenin kesin olması için 367 kişi gerekir. Eşit dağılım ve 365 gün varsayımıyla ise 366 kişi için eşleşme kesindir. Ama yüzde 99'a ulaşmak için yalnızca yaklaşık 57 kişi yeterlidir.

Bu paradoks gerçek mi? Evet. “Paradoks” adı bir çelişkiden değil, sonucun sezgiye aykırı görünmesinden gelir. Hesaplar doğrudur ve deneylerle de uyumludur.

Kendi sınıfımda deneyebilir miyim? Evet. 23-30 kişilik birkaç grupta doğum günlerini karşılaştırırsanız, grupların yaklaşık yarısında ya da daha fazlasında bir eşleşme bulmanız beklenir. Küçük örneklemlerde sonuç değişebilir.